1982年美国高考数学卷上有这样一道题目，说小圆的半径是大圆的三分之一，小圆绕着大圆滚回原来的位置需要滚多少圈？
这道题目在当时引起了很大的轰动，因为30万人中只有三个人答对了题目，就连出题人也不会。这就涉及到我们今天所讲的“硬币悖论”了。
什么是硬币悖论呢？
将两枚硬币上下整齐地摆放，然后将上面的硬币沿着下面的硬币滚回原来相交的位置，你会发现上面运动的硬币实际上转了两圈，而不会我们想象中的一圈。而这种反直觉的现象就被称为“硬币悖论”。
虽然说两个圆所接触的路径是圆周长，但是对于滚动的圆心来说它走过的路径是原来的两倍。
这类题目有一个公用的算法，就是用公转圆的圆心画出圆的半径除以公转圆的半径，就可以算出公转圆的圈数。拿美国高考的数学题举例，里面的半径为3，外面的半径为1，那么公转圆的半径就是4，就可以很容易得知这道题应该是4圈了。
知道圈数以后就要不妨思考一下，为什么外侧滚动的硬币会多走一圈呢？
我们可以假设一个周长为一米的圆在一个一米长的直线上，当圆滚完直线也就结束了一圈。那接下来我们将这根直线折成等边三角形，会发现这时圆会多转一圈。
原来，当圆滚动到拐角时圆心就要转动120°，经过三个拐角就是360°，这就刚好是多出来的那一圈，接下来我们将直线转为正方形，五边形等，都可以发现滚动圆需要走的圈数都要额外加一圈。依次类推，当这个多边形无限边到圆时也需要增加一圈。
这就出现了我们做的硬币实验，两个相同的硬币，外围的会绕两圈才能回到起点。
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