在北大版的高等代数书上，我们从多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、lamd矩阵、欧氏空间以及双线性函数这些地方分别讲解了高等代数。但实际上很多遍通下来我们也未必能有一个直观的感觉到底在学些什么，想必用这本书的学校的老师也不会说我们到底在学什么。
对于高等代数大家应该会想为什么会有矩阵？我们可以用它来做什么？为什么会有二次型？这个东西到底有啥用？为什么把这么一堆东西放在一起就可以叫做高等代数？到底什么是高等代数？我打算用我的理解去简述一下高等代数这个东西。当然理解不一定对也不一定足够深刻。
现在在我这里有一堆东西，我试图研究这堆东西之间有什么样的联系。例如我这里有一包小熊饼干，有大的也有小的，我想看看这些不同的小熊饼干之间有什么联系，我要去刻画它们之间的关系。
首先我想去研究它们的线性关系，这是最简单的关系了。那么我们要如何去研究这种简单的关系？当然第一步就是把它们放在线性空间里，因为一旦有了这样的空间我们就可以开始定义线性变换了。
当然我们还需要找到一组基，为了研究小熊饼干我们可以把基分别定义成一个小熊饼干的四肢躯干加头。而我们只要弄明白了线性变换的样子我们就把这种不同小熊饼干之间的关系刻画出来了，即这个饼干是那个饼干胳膊的多少倍头的多少倍等等。
接下来问题转移到了研究这种线性变换上，只是看这个花写的符号我们当然看不出什么，即使给了它作用的原像和像我们也无法弄清楚这个被叫做线性变换的映射到底是个啥。那么我们该要如何来刻画它？这时候我们就有了矩阵，每一个线性变换都有一个对应的矩阵，只要找到它所对应的矩阵就可以了。
现在问题转移到了研究矩阵上，实际上每个矩阵都是一个线性变换，在学习高代的时候会学习好多种矩阵，诸如上三角对角秩1等等。与其说在学习矩阵，不如说在学习线性变换。很多看不懂的特殊矩阵性质，一旦把它放在线性变换上一切就变得自然了。
现在来到了矩阵上试图发现矩阵的奥妙，但凡学习过一点高代的人都知道，一个东西乘上矩阵就相当于是把这个东西进行了翻转伸缩。这里的翻转伸缩并不是简单的把一个小熊饼干放大或者转圈，而是包括了只变长胳膊或者进行镜面反射等的很多高级变换。
现在渴望把每一个矩阵的作用都说明白，试图对任意的矩阵都可以说出来它的翻转伸缩，多少次的翻转伸缩或者是什么程度的翻转伸缩。可实际上做不到这一点，但即使做不到这一点也试图可以找到一个更为简单的矩阵去刻画映射关系。
可是仅仅在以一个普通小熊饼干的身体做基从而刻画关系的矩阵毕竟是有限的，未必能把它变得简单，这时候就要求去换基了。打算换一个小熊饼干以期望通过这个小熊饼干刻画关系的矩阵能非常简单，这是可以做到的。只要找到那个和所有小熊饼干相似程度最高的小熊就可以了。
更残忍一点也不需要非要拿这一只小熊饼干做基，可以扯一个其他饼干的胳膊配上我的头等等组成一组基。只要四肢躯干和头和其他的矩阵相似程度足够高，刻画关系时的矩阵就可以更简单，这是可以做到的。虽然无法刻画出一个准确的矩阵，但至少做到了让这个矩阵简单。
不知道大家有没有疑惑，这个简单的矩阵是怎么定义的？要想弄清楚简单矩阵的定义，还是要回到变换上。矩阵是用来刻画变换的，这里的矩阵简单无非就是变换简单、简单的翻转、简单的伸缩。如果这个矩阵是单位矩阵，那么这一袋小熊饼干就都成为了清一色的某种熊，大小都是一样的。
而如果这是一个对角矩阵，那么就成了一袋四肢躯干头大小不一的小熊饼干。毫无疑问这也是简单的，这实际上也是我们期望的最简单的样子了。只有伸缩没有翻转因为翻转总是困难的，它要比伸缩困难了太多。
于是我们试图找到一组基即找到一组四肢躯干头使得任何一个小熊饼干都是它的多少多少倍，这是我们期待的样子。也就是说想办法把矩阵搞成对角矩阵。于是我们有了对角化它的意义在于找到一组基使得在这个基上的变换只有伸缩变换。
可即便是这样的对角化也并不是每个矩阵都可以做到的。这条对角化的路已经断了，毕竟不是所有的矩阵都能刻画成只有伸缩的样子。(实际上因为可对角化矩阵的稠密性，我们总可以在一定误差内用可对角化矩阵逼近不可对角化矩阵)。
我们开始想别的方法来研究这个矩阵，在这种情况下我们迎来了若尔当标准型。既然翻转已经无法避免我们便开始研究翻转，但是一次性研究包括头躯干四肢的翻转无疑是困难的。我们试图把它们分成互不干扰的部分分别进行研究如统一研究头或者躯干，它们之间必然是无关的又比如一对胳膊。
如果左右胳膊没有联系我们也要把它们分开研究，如果有联系那么我们只能同时研究。这个时候当然是分的部分越细越好，但是前提是我们一定要把它们分成互不干扰的几部分。这就是我们所说的不变子空间，我们用不变子空间把那些含有翻转的变换分开来研究。
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