数学积分怎么算

本文作者:神永正博

初识积分的乐趣

现实世界中存在的物质,并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反,那些规则的形状可以说只是例外或理想化的情况。所以,对人类而言,测量现实情况中各种复杂图形大小的技术非常必要。

日本小学的家政课会讲授乌冬面、土豆块2等简易料理的烹饪方法。如果掌握了这些基础烹饪方法的话,就能够烹制出更多复杂的菜品。例如,乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中,从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。

如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块,那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性料理。多亏有了积分法,人类才能够计算各种图形的面积和体积。使用积分,无论是多么奇怪的形状,只要下功夫就能够计算出结果,这真是巨大的进步。

将思考应用于实际,用自己的力量去推导面积、体积,这才是积分的乐趣,也是学习积分的真正意义。

所有图形都与长方形相通

积分的要领①:

以长方形为基础来思考。

图形的种类纷繁多样,其中面积计算最为简单的就是“长方形”了。

说到这里,大家是不是想起了小学时初学面积计算的情景?在图形面积计算中,三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是放到长方形之后学习。长方形的面积仅用“长×宽”就可以计算,可以说是最简单、朴素的图形。顺便提一下,在数学世界中,正方形被看作是“一种特殊的长方形”。

掌握长方形面积的计算方法后,就可以将其应用到三角形的面积计算中。反过来说,如果不知道长方形面积的计算方法,也就无法计算三角形的面积。

这是因为,三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半”。根据图2可知,三角形的面积正好是对应长方形面积的一半,也就是说“三角形的面积=底×高÷2”。

那平行四边形是什么情况呢?平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。

梯形的情况又如何呢?梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示,两个相同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此,梯形的面积也是以长方形为基础计算的,为“(上底+下底)×高÷2”。

从三角形到平行四边形,再到梯形,虽然这三个图形看上去没什么直接关联,但它们的面积公式都是以长方形面积为基础推导出来的。

近似的方法

积分的要领②:

将图形看作小长方形的组合。

在小学算术课上,大家有没有做过下面这样的事情呢?如图5所示,用圆规在方格纸上画一个圆,然后数出圆中方格的个数。之后,再画几个大小不同的圆,并数出这些圆中方格的个数。

这项作业实际上与圆的面积公式相关。圆的面积公式是“半径×半径×3.14”,其中的3.14是圆周率的近似值,而“尝试数方格的个数”就是一种讲解圆周率推导的方法。

在这里,我们来重新回顾一下这种方法。

先来数一数图6中,半径为2 cm的圆中有多少个方格3(方格的边长为1 mm)。虽然这种方法有些不精确,但是能让小学生更容易理解。

图6圆中的方格共有1189个,用面积表示的话为11.89 cm2。

圆的面积公式是“半径×半径×圆周率”。在方格实验中,我们的目的是求圆周率,所以可以把这个公式变形,得到“圆周率=面积÷(半径×半径)”。在图6的例子中,圆的半径为2,所以用面积除以2的2次方4,得出圆周率为2.972 5。

与3.14相比,这个结果太小了。虽然有些遗憾,但实验就是

这样的。即便如此,我们也会明白一件事情,即“圆周率,也就是π,粗略来说是接近3的数”。

再细分方格或者把圆变大的话,圆内方格面积的和,就会逐渐接近圆面积公式“半径×半径×3.14”,也就是说,圆周率

会逐渐接近3.14。像这样,把圆的面积替换成方格的数量,逐渐求得接近待求值的方法叫作“近似”。我在小学时也做过这个实验,数十年后的今天,我仍然清晰记得努力数完方格得出答案后,内心中洋溢的满足感。

顺便说一下,或许有人会产生以下疑问。

博士的回答是老师的常用手段,但是稍微有些糊弄的成分。因为这种回答还会遗留下面的疑问。

“不在意这些缝隙”具体是什么意思?事实上,不管是在意还是不在意,缝隙总是会存在的,不是吗?

这个疑问看上去似乎很无聊,但在高等数学中却是一个很有意思的问题。从结论上来讲,为了解决上述疑问,我们有必要使用“夹逼定理”(两边夹定理),从圆的内部和外部都取近似来研究图形。即先计算出“圆内部的方格数”对应的圆周率,然后再用同样的方法,计算出“包含圆边界的方格数”(内部方格数加包含圆边界的方格数)对应的圆周率。这样一来,我们可以得到下面的结论:

圆内部方格数对应的圆周率 < 圆实际的圆周率 < 包含圆边界的方格数对应的圆周率

如果将方格不断替换为更小的方格,“圆内部方格数对应的圆周率”和“包含圆边界的方格数对应的圆周率”,二者的数值会慢慢接近,都接近圆实际的圆周率,这就是“夹逼定理”。

在微积分中,不拘小节的精神同样重要。

图7是小方格组成的与圆近似的图形。左边是大方格,右边是小方格。通过这两个图大概可以明白“把粗糙的图形精细化,就会接近实际图形(圆)”。精度非常高的锯齿状图形,实际上很难在视觉上与平滑图形区分出来。

电视、电脑的液晶显示器,都是使用这个原理来显示画面的。液晶显示器显示的画面实际上是锯齿状的。但是显示器中锯齿的精细度非常高,所以我们眼中看到的就是平滑的线了。

我们也可以这样说,圆形实际上是由无数精细小方格组成的锯齿状图形,即圆形是锯齿状图形的“极限”。像这样,“近似”在数学中是极其好用的方法。

如果执着于完美再现平滑的线,那么就不会出现液晶显示器吧。多亏了非完美主义的近似方法,才诞生了划时代的技术。

和变为了积分

计算圆的面积时,小学中采用的方法是用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简单,就是因为方格纸的方格是正方形。

求圆的面积,要领是精细地划分圆。也就是说,划分的形状应该不限于正方形。因此,我们可以把圆分成“细长的短条”来求面积。比如图8,我们尝试把圆分成细长的短条,也就是长方形的组合。

虽说如此,但既然说到了符号,从现在开始我们就尝试使用积分符号吧。公式也会从此处开始出现,不过内容和刚才的讲解是完全一致的,所以请轻松地读下去。和业界人士使用行业术语讲话一样,使用数学符号讲解数学,相同的内容在表达上也会看起来非常优雅。

在图9中,我们把圆裁切成非常窄的短条。水平方向为x轴。这时,圆的裁切方向和x轴正好是垂直关系。

在此基础之上,我们选取一条宽度为Δx的短条。Δ是希腊字母,读作“德尔塔”(Delta),多用作“差”(difference)的符号,表示非常小的数值。

现在,我们用公式来表示这条短条的面积。

短条的面积=短条在x值对应的长度×Δx

若问为什么要算出短条面积,这是因为我们要从这里开始计算圆的面积。把这些细长短条的面积相加,就是圆的面积。具体来说,把从左端到右端的短条全部相加就可以了。

在这里,我们逐渐缩小短条的宽度,缩小到再也不能缩小的程度。这样一来,短条与其说是长方形,倒不如说看起来更像“一条线”。无数根“线”相加,其结果逐渐接近“圆的面积”。用积分符号来表示的话,可以写成以下形式。

公式中那个像把字母S纵向拉长的符号音同integral(积分)。积分原本就是“和”的意思,因此积分符号也是取自拉丁语中“和”的单词Summa的首字母S。这是一位叫作莱布尼茨的数学家(兼哲学家)提出的。

在此简单补充一点儿德尔塔(Δ)和d的内容。

Δ和d,这两个符号都源于“差”(difference)。二者的不同之处在于,Δ是“近似值”,而英文小写字母d是“精确值”。

“精确值”是什么意思呢?例如圆周率π,3.14是其近似值,无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精确值”。近似值在某种情况下必定是不正确的,而精确值在任何情况下都是正确的。

所以,我们可以这样理解dx:“将原本用短条宽度Δx计算的数值,看作趋向于0的‘精确值’。”

总结一下,德尔塔(Δ)和英文小写字母d分别在以下情况中使用。

德尔塔(Δ)——当存在宽度(宽度大于0)之时。

英文小写字母d——当宽度趋向于0,计算极限数值时。

另外,虽然微积分中会出现各种各样的公式、符号,不过初学者最开始不太理解这些东西也没有关系,对Δ和d也同样如此。

《 简单微积分:学校未教过的超简易入门技巧》作者:神永正博

本书为微积分入门科普读物,书中以微积分的思考方法为核心,以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义,解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切,没有烦琐计算、干涩理论,是一本只需轻松阅读便可以理解微积分原理的入门书。

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