《哈代数论（第6版）》这本书是数论领域的一部传世名著，也是现代数学大师哈代的代表作之一。自出版以来一直备受数学界推崇，被牛津大学、麻省理工学院、加州大学伯克利分校等知名大学指定为教材或参考书，也是斯坦福大学每个数学与计算机专业学生应读的一本书。
“498条定理，全程高能！！属于兴趣引导型，直击重点”
“哈代处理问题时总是能够一发入魂，如果我能有这样的本领就好了”
时隔多年，这本书依然是无数学生数论入门的首选。
译 者 序
哈代和赖特的这本书初版于 1938 年问世, 是作者多年间在英国牛津大学、剑 桥大学、阿伯丁大学以及其他大学所做的若干数论讲座的讲稿汇编. 这本中文版 是以英文第 6 版作为蓝本翻译的.
至 2008 年, 这本书问世整整 70 年了. 在这 70 多年中, 数论这个数学分支有 了长足的进展, 它的理论和方法都得到巨大的发展和进步, 并且人们在解析数论、 代数数论、超越数论和计算数论等所有重要分支的许多重大问题的研究中取得了 令人瞩目的成果, 全部或者部分解决了一批著名的数论难题 (例如关于超越数的 Hilbert 第七问题、Waring 问题、Gauss 关于二次域的类数猜想、Goldbach 猜想 和孪生素数猜想、Fermat 大定理、Riemann 猜想和广义 Riemann 猜想, 等等). 从这个意义上说, 哈代和赖特这本书中的某些内容随着原著作者的去世, 早已落 后于当代数学科学的发展, 这是任何经典著作都无法避免的窘境. 然而, 鉴于这部 书是有关数论基础知识的导引性著作, 它所讲述的基本内容都没有过时, 更由于 作者引人入胜、深入浅出的书写风格, 使得本书历经 70 余年的考验, 至今仍然是 为数不多且具有重要参考价值的数论初等教程之一. (另一部出版较早且值得一提 的数论初等教程是已故中国数学家华罗庚先生的名著《数论导引》.)
原著者哈代是 20 世纪在英国乃至全世界享有盛誉的数学家, 他单独或者与 他人合作出版过多部数学史上不朽的经典著作, 发表过许多重要的研究论文. 他 的许多著作至今仍极有参考价值. 此外, 他还在数学的众多分支, 特别是数论这个 分支的研究中, 取得过超出当代数学家的杰出成就. 例如, 他和印度数学家拉马努 金等人所创立的圆法在解决许多解析数论重大难题的过程中成为不可或缺的方法 之一, 他的数学理论和思想至今仍是当代数学家们研究的对象和源泉. 此外, 哈代 对于中国数学界的影响也远不止于他的著作和研究. 众所周知, 由于美国著名数 学家、控制论创始人、也曾是哈代学生的维纳的推荐, 正值青年的华罗庚于 1936 年受到哈代的邀请到剑桥大学作访问学者. 华罗庚在剑桥大学得到以哈代为核心 的数学研究集体中许多年轻数学家的帮助, 在与他们的交流中获益匪浅. 在留学 期间, 他至少在国际一流期刊发表了 15 篇论文, 这对他本人后来研究工作的深入 和发展显然有巨大的作用和影响. 这一事实表明：哈代本人对于华罗庚个人一生 的学术成就以及华罗庚归国后对于培养整整一代新中国数学家所做的贡献都有着 重大而直接的影响. 从这个意义上说, 我们中国数学界今天无论怎样感谢哈代都不为过.
按照哈代本人的建议, 这本书既不是数论的系统教科书, 也不是一本数论的 通俗读物. 它是为具有大学数学系一年级以上水平且希望学习数论的学生, 以及 对数论感兴趣的数学爱好者编写的. 上一版共 24 章, 经修订, 本版修订者英国牛 津大学教授戴维•希思–布朗和美国布朗大学教授约瑟夫•西尔弗曼新增一章专门 介绍椭圆曲线理论. 现在, 这本第 6 版共 25 章, 分别介绍了素数理论、数的几何、 同余式理论、二次剩余和二次互反律、连分数、有理数逼近无理数、二次域、不 定方程、算术函数、数的分划、一致分布和椭圆曲线等方面的基本概念、初等理 论和方法以及相关的问题. 每一章的末尾都有一个关于本章内容的附注, 介绍相 关问题的起源、发展历史以及相应的参考资料等. 为了使读者了解书中所涉及的 某些重要的数论问题的最新进展 (到 2010 年 3 月 5 日止), 我们编写了一个简短 的附录作为补遗, 希望这本中文版的出版能对中国未来的年轻数论爱好者有相当 的帮助和教益. 译者中的年长者正是靠着这本著作和其他数学著作的指引, 才找 到了思想的乐趣, 摆脱了人生的苦恼, 最终走上了学习和研究数论的人生旅程.
在第 6 版的翻译过程中, 我们将发现的一些问题提交给参与英文第 6 版编著工作的几位作者, 得到了他们的大力帮助. 例如, George E. Andrews 给我来信解 答了有关第 19 章附注中的一处疑问; 西尔弗曼的来信肯定了我在新增的第 25 章 及其附注中发现的所有涉及数学以及英文方面的错误 (读者对照英文第 6 版与中 文译本, 即可发现这些错误之处), 他还给我指出了第 25 章中某些需要更改的地方(指的是根据他的建议在中文译本中取消了定理 478∼481 这四处的星号).
对于上述各位以及为这部中文译本付出辛勤劳动的北京图灵文化发展有限公司的诸位编辑, 谨此表示我衷心的感谢!
张明尧
2010 年 3 月 4 日于上海
第 1 版
本书是根据最近十年间在若干所大学的讲座内容所做的总结, 与许多由讲座 形成的书很相似, 本书没有确定的内容规划. 从任何意义上讲, 本书都不是一本系统的数论专著 (专家学者只要看一看本 书的目录就会明白这一点). 它甚至并不包括数论诸多理论中任何一个方面的完整 合理的介绍, 只不过作为导引来轮流阐释几乎所有这些方面的内容. 我们对若干 个论题中的每一个都做一些介绍, 虽然人们通常并不把它们合起来放在单独的一 本书之中. 同时, 我们也对某些并不总是被视为数论的内容进行了一些探讨, 例如第 12∼15 章属于数的 “代数的” 理论; 第 19∼21 章属于数的 “加性的” 理论; 第22 章属于 “解析的” 理论; 而第 3 章、第 11 章、第 23 章和第 24 章处理的内容通常归属在 “数的几何” 或者 “Diophantine 逼近” 这一范畴. 我们所规划的内容 极其丰富, 但少有深度, 因为在区区四五百页的篇幅里完全不可能对这么多问题 中的任何一个论题加以深入研究.
本书有很大的漏洞, 任何一位专家学者都能轻易指出来. 最显而易见的一个 问题是对于二次型的理论没有任何介绍. 这个理论比数论的任何其他部分都有更 为系统的发展, 而且在常见的书中对此都有完善的讨论. 我们不得不略去某些东 西, 因为我们对那部分理论的现存结果没有什么新鲜内容可以添加.
我们经常根据个人的兴趣来决定写作计划, 选取某些论题, 很少是因为这些问 题的重要性 (尽管其中大多数问题都很重要), 而是因为它们很合我们的心意, 也因 为其他作者给我们留下了写作的空间. 我们最初的目的是写一本有趣的书, 一本 独具匠心的书. 或许我们已经取得了成功, 成功的代价是书中有太多的怪异之处;或许我们已经失败了, 但是我们不会彻底失败, 因为所研究的论题是如此的引人 入胜, 故而只有非同一般的无能才会使得它变得枯燥乏味.
这本书是为从事数学工作的人写的, 并不要求读者具备任何高深的数学知识 或者技巧. 在前 18 章里我们只需要读者具备中学程度的数学知识, 任何聪明的大 学生都会发现本书易于读懂. 后 6 章要难一些, 需要读者具备稍微多一点的预备知识, 但也绝不超出比较简单的大学课程的内容.
本书书名与 L.E. Dickson 教授的一本非常有名的书同名 (但本书与他的书几 乎没有共同之处). 有一段时期我们打算更名为 An introduction to arithmetic (算 术导引), 这是一个更为新颖且在某些方面来说也更加合适的书名, 但是有人指出 用这个书名可能会使人对书的内容产生误解.
有多位朋友在本书的准备过程中给予了帮助. H. Heilbronn 博士阅读了全部 手稿和印刷文本, 他的批评和建议使本书有了许多重要的改进, 其中最重要的一 些已在正文中予以致谢. H.S.A. Potter 博士和 S. Wylie 博士阅读了书中的证明, 并帮助我们去掉了许多错误和含糊不清之处. 他们还对每一章后面附注中的大部 分参考文献进行了检查. H. Davenport 博士和 R. Rado 博士也阅读了本书的一部 分内容, 特别是第 24 章, 这一章由于他们以及 Heilbronn 博士的建议, 与原稿相 比几乎焕然一新.
我们还从参考目录中所列举的其他书籍 (特别是从 Landau 和 Perron 的著 作) 中不受限制地借用了许多东西. 特别是对于 Landau, 我们与数论方面所有求 上进的学生一样, 无论怎样感谢他都是应该的.
戈弗雷•哈代
爱德华•赖特
1938 年 8 月于牛津
《哈代数论（第6版）》
作者：[英] 戈弗雷·哈代 [英] 爱德华·赖特 译者：张明尧 张凡
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《纯数学教程（第9版）》
作者：[英]戈弗雷•哈代 译者：张明尧
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《一个数学家的辩白（双语版）》
作者：[英] 戈弗雷•哈代 译者：何生
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《哈代数论（第6版）》。
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