May
11
灼见（微信号：penetratingview）
“谢耳朵”的猜想被证明啦！
作者 | 张华
来源 | 环球科学（huanqiukexue）
史上收视率最高的美剧《生活大爆炸》终于要在连续播出12年后落下帷幕。正在这个感伤的告别时节，《美国数学月刊》发表了一篇有趣的论文，题目是《谢尔顿猜想的证明》。
在《生活大爆炸》中，理论物理学家谢尔顿对73这个素数情有独钟，谢尔顿认为这个素数是最优美的（the best）。他穿的衣服上就印有73这个数字。
73到底有什么特别之处，能让挑剔而奇葩的谢尔顿为之痴迷？
谢尔顿身穿印有“73”的上衣
为什么是73？
我们知道，这个世界上的复杂事物可以通过排序变得简单而清晰，比如学生在学校里有学号，员工在公司里有员工号，在快餐店等餐也有排队序号。素数也一样，早就两千多年前，欧几里得就证明了素数有无穷多个。我们可以引入一组“索引序号”，将素数从小到大排列。例如，连续的素数2、3、5、7……被编入索引序号1、2、3、4……
按照序号排列，73是第21个素数。
按照数学家的标准写法，可以写成P(21) = 73。
在这种写法中，P(n)是一个数论函数（所谓数论函数，是说这个函数的自变量是正整数），P表示素数（Prime number），n的取值范围覆盖全部连续的正整数。
依照这种写法，我们可以发现，第12个素数是37。也就是说P(12) = 37。
在《生活大爆炸》中，谢尔顿注意到一个很有趣的事实，那就是对73与37这两个素数来说，它们正好存在有趣的对称性：P(21) = 73，而如果我们把素数73倒过来写成37、把序数21倒过来写成12，这时P(12) = 37同样成立。
谢尔顿喜欢73这个素数，一个重要原因就在于这背后的镜像对称性。
73与37的区别：积性
看到这里，你可能会问：从镜像对称性上来说，73和37的地位是平等的，没有谁高谁低。既然如此，为什么谢尔顿会觉得73比37更具有科学美感呢？
在剧中，谢尔顿没有给出进一步的解释，但现实世界中的数学家却“替”谢尔顿研究起这个问题。
莫宁赛德学院数学副教授克里斯·斯派斯（Chris Spice）与两位数学系学生注意到，73不但具有镜像对称性，它还具有另外一个性质，那就是“积性”（product property）。
积性的定义很简单。一个素数 p(n)如果是有“积性”的，那么，p(n)中的每一位阿拉伯数字的乘积正好等于n。
例如：
P(7) = 17，1×7 = 7
P(21) = 73，7×3 = 21
P(181440) = 2475989，
2×4×7×5×9×8×9 = 181440
我们注意到，谢尔顿最喜欢的73是一个具有积性的素数。但是，对于37来说，它虽然有镜像对称性，但却没有积性：3×7 = 21，与序号12不符。
这就是37不如73优美的原因。
当然，这些数学家不会满足于此。在此基础上，他们在2015年的一篇论文中正式提出了谢尔顿猜想：除了73这个素数同时存在镜像对称性与积性，不存在其他素数同时具备这两种性质。
满足该条件的素数，也被称作谢尔顿素数。也就是说，论文作者认为，73是唯一的谢尔顿素数。
证明谢尔顿猜想
谢尔顿猜想的提出看似有点搞笑，因为这就好像说《射雕英雄传》里的黄蓉证明了n阶幻方的存在性定理（具体参看黄蓉与瑛姑的对话那一部分内容）。
但是，不可否认的是，虽然剧中的谢尔顿声称73是“最优美的素数”（the best），但谢尔顿并没有说73是“独一无二”（unique）的。（因为这部剧的科学编剧也不知道73到底是不是唯一的谢尔顿素数。）
直到今年2月，情况终于变了。斯派斯与达特茅斯大学数学教授卡尔·波默朗斯（Carl Pomerance）在《美国数学月刊》上刊发论文，证明了谢尔顿猜想。
两位数学家要解决的问题是，73到底是不是唯一的谢尔顿素数（同时具有镜像对称性与积性）。
由于理论上有无穷多的素数，所以如何缩小搜索的范围，变得十分重要。
在论文中，作者宣称，具有积性的素数，只有上文提到的三个。但要证明这一点，就需要一些数论知识了。其中最重要的是素数定理，因为有了素数定理，就可以知道我们能知道第n个素数大概等于多少。
有了素数定理，根据积性的定义，可以得到一个重要的结论：如果一个素数非常大，那么它肯定不具有积性。从严格的数学推导可以估算出，当素数的位数超过46位的时候，这个素数肯定不可能具有积性。
所以，以10的46次方作为分界线，素数被分为两部分：大于10^46的素数，肯定没有积性，因此证明谢尔顿猜想时可以忽略这部分；而小于10^46的素数是可以具有积性的，它们才是我们应该关心的。
由此，论文作者的搜索范围得到了限制。这个事情比张益唐当年对孪生素数猜想的论证过程要简单得多，因为张益唐要面对的是无穷多个素数，不断缩小范围，最后逼到一个极限。而波默朗斯与斯派斯只需要面对小于10^46的那些小素数。
卡尔·波默朗斯在解释对谢尔顿猜想的证明。（图片来源：Eli Burakian）
这两位教授的论文一共有11页。他们在论文中部分依靠数学技巧，部分依靠计算机编程，最后检索完毕，证明了73确实是唯一的谢尔顿素数。
当《生活大爆炸》的科学顾问、加州大学洛杉矶分校物理教授戴维·萨尔茨伯格听说了“谢尔顿猜想”被证明后，他联系上了作者，询问是否可以在接下来的《生活大爆炸》中使用这一结论。也许，在最后一季的最后一集中，我们可以听到谢尔顿亲口说出：“谢尔顿猜想被证明了”！
—THE END—
☀本文选自公众号“环球科学”（huanqiukexue）。作者：张华。灼见经授权发布。
原始论文：
[1]Proof of Sheldon Conjecture
[2]The Sheldon Conjecture
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